本站原创【摘 要 】 高中数学课本中有些典型问题,可作为研究性学习的基本素材.探究习题的多种求解思路,并做适当的引申、推广和拓展,不仅能加强学生对学知识的深刻理解和灵活运用,而且对培养学生的思维品质,提高学生的思维能力都有很大的作用.
【关 键 词 】 习题；求数解；引申；探究
那交点坐标为（-2,6）和（4,-2）.所以公共弦长为了10.笔者发现,在学生具体解答时,解二元二次方程组是难点.很多学生不能正确解答出来.鉴于此,提出问题：该题可以不解方程组而求解吗?学生通过画图,比较、讨论、最后终于有了一种比较好的方法.生：先将两圆作差,得到一条直线的方程：4x+3y-10等于0而前面方程组的解也满足直线方程,也就是说这条直线经过两圆的交点,即相交弦所在直线的方程.然后以其中任一圆作为基础,求出弦心距,根据勾股定理求出弦米长,最后求出弦长.（解答略）
针对学生的回答,最关键的就是两圆作差为公共弦所在的直线方程.是否所有的都是这样?（证明可以留给学生,因为针对一般情况的证明对高中生来讲非常困难,但还可以要学生随意举一些例子验证一下,这虽然是由一些特例得出的结论,有失严谨,但在中学阶段是可以的.）
本例是两圆相交问题,而平面内圆与圆的其它关系呢?即任意两个圆作差得直线方程与圆有什么联系呢?下面仅举实例来分类加以引申探讨.首先我们来讨论最一般的情况：
故,只有当两圆为等圆时,两圆方程作差所得的直线为线段O1O2的中垂线.否则,只有垂直关系.
下面,来小结一下我们所得出的结论：
（1）任意两圆方程作差所得直线必垂直于连心线所在的直线.
（2）针对于不同的位置关系还有不同的特殊性：①当两圆相交时,为公共弦所在直线方程.②当两圆外切时,为内公切线.③当两圆内切时,为外公切线.④当两圆外离且为等圆时,为连心线的中垂线.不为等圆,则只有垂直关系.⑤当两圆内含时,为连心线的垂线.
高中数学课本中有些典型问题,对培养学生的思维品质,提高学生的思维能力和解题能力都有很大的作用.因此,我们必须深入研究课本习题,加强对习题课的教学研究,以促进教学质量的进一步提高,让学生从中得到锻炼,学到终生受用的数学知识!
收稿日期：2008-4-12
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