本站原创【关 键 词 】初中数学 解题
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）09B-0059-02
解题是数学学习的一个核心内容和一种基本活动形式.教师的解题教学直接影响到学生的解题思维,因而影响到学生解题能力的提高.下面谈谈如何以高效教学引导学生解题,培养学生的思维能力.
一、观察题目,提取信息
解题的第一个步骤是审题,审好题目是解题的制胜点,许多题目做错往往就是由于审题时就把题目意思理解错了,导致一步错、步步错.教师在解题教学中务必抓好审题环节,培养学生耐心、细心、专心地审题,提高审题能力.首先,观察题目的类型,弄清题目的已知和所求,把握解题的方向；其次,提取有效信息,有效信息包括表层信息与隐藏信息,要逐字斟酌表层信息,深入挖掘隐藏信息,为解题做好充分的准备.
【例1】已知|x-2|+（y+2）2等于0,求5x+（y-8）2的值.
这个题目类型是由已知式子求未知式子的值.表层信息是知道一个有两个未知数的式子,那么只知道一个式子如何求出两个未知数来呢?提出这个问题可引导学生对信息进行深入挖掘.通过挖掘可发现：|x-2|≥0,（y+2）2≥0,又因为|x-2|+（y+2）2等于0,所以|x-2|等于0,（y+2）2等于0,由此可求出x和y两个未知数的值,求未知式子的值也就可以解决了.
二、互动探讨,寻求解法
新课程教学注重师生互动.教师一步一步地引导学生,提醒学生审清题目,注意知识间的前后联系,可根据题目的特点,把题目分成若干个小问题,或联系生活实际和生活常识.学生在教师的引导下积极探索解题的方法,同时相互交换意见,共同探讨各种解题方法,包括提出更简捷、快速、科学的解题方法,体现在教学中学生是主体,教师是主导.在师生、生生互动的过程中,思想碰撞激烈,课堂气氛活跃,学生探索出解题方法,提高了解题能力.
【例2】已知关于x的方程x2+μx+2μ-ρ等于0,其根的判别式为0,且x等于1是方程的根,求μ和ρ的值.
教师这样引导学生解题,通过互动、探究得出简便快捷的方法：
师：初看题目我们就可以马上想到什么呢?
生A：将x等于1代入方程得1+μ+2μ-ρ等于0①,由根的判别式得μ2-4（2μ-ρ）等于0 ②.
师：可是我们会发现,将这两式联立求解,出现未知数的平方,计算复杂,容易出错.同学们还能想出其他的解题方法吗?根据题目给出的已知条件,同学们还能想到什么吗?
生B：题目中给出方程的根的判别式为0,那说明方程只有一个解,又知道x等于1是方程的根,这就是方程只有的一个根.
师：知道了方程的根和解的个数,可以列出什么式子吗?
生C：利用两根和、两根积的公式可以吗?
师：我们不妨利用两根和、两根积的公式试试.
x1+x2等于1+1等于-μ ①,
x1x2等于2μ-ρ等于1 ②.
①②两式联立可解得μ等于-2,ρ等于-5.这种解法很巧妙地避免了计算的繁杂,可以快速地解出答案,较第一种解法方便快捷得多.
通过这样一个积极互动的探讨环节,教师一步步地引导学生寻求简便的解法,而学生在掌握各种不同解法的同时,也掌握了更为简便的解法.在解题教学中,教师要努力建立一种平等的课堂氛围,师生共同讨论,共同解决问题,充分发挥学生的主体作用,培养学生分析问题、解决问题的能力.
三、反思解题,提高能力
荷兰著名数学教育家弗赖·登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心与动力.解题反思是指解完题目之后,对解题过程的思维过程、方法技巧、错漏之处等进行经验总结.这是一种良好的学习习惯.对同一个问题,经常犯同样的错误,就是没有进行解题后反思的典型表现.解题后的反思可以很好地克服犯同样错误的毛病,提高解题效率和能力.解题教学的最后一步——反思是不可忽视的重要教学环节,引领学生多层次、多角度、全方位地反思问题,能让教学质量进一步提高.
1.积极反思,探求一题多解和进行一题多变
一题多解是指对同一道题目,运用不同的方法去解答,得到同样的结果.一题多变是指对于已经解决的问题,教师根据教学大纲的要求,对题目进行多角度的改变.在解题教学中,教师不能让学生的思维和视线仅仅停留在所讲解的那道题上,那样会造成学生思维凝固、不知变通；要在解题反思中对题目进行一题多解和一题多变,让学生在以后的学习中对问题的解决能操纵自如,对题目的变化能以不变应万变,从而提高解题教学的效率.
【例3】图1的梯形ABCD中,AB∥CD,∠A等于90°,AB等于2,BC等于3,CD等于1,E是AD中点,求证CE⊥BE.
解法1：作CF⊥AB,在RtΔCBF中,由勾股定理得CF等于,∴AD等于.又∵E是AD的中点,∴DE等于AE等于.
在RtΔCDE和RtΔBEA中,由勾股定理得CE2等于3,EB2等于6,∴CE2+EB2等于CB2,ΔCEB是直角三角形,即CE⊥BE.
解法2：分别延长CE与BA交于点F,易得ΔCDE≌ΔFAE.
∴CE等于FE,AF等于1.
∵AB等于2,∴BF等于3.
∵BC等于3,∴BC等于BF.
在ΔBFC中,由三线合一定理得CE⊥BE.
解法3：取CB的中点F,联结EF, EF是梯形ABCD的中位线.
由此易得EF等于1.5,∴EF等于CF等于BF；
∴ΔCEF中,∠CEF等于∠FCE；
ΔBEF中,∠FEB等于∠FBE.
在ΔCEB中,由三角形内角和定理易得∠CEB等于90°,即CE⊥BE.
变题1：在梯形ABCD中,AB∥CD,BC等于AB+CD,E是AD的中点,求证CE⊥BE.
变题2：在梯形ABCD中,AB∥CD,CE⊥BE,E是AD的中点,求证BC等于AB+CD.
变题3：在梯形ABCD中,AB∥CD,BC等于AB+CD,CE⊥BE,判断E是否是AD的中点.
2.积极反思,培养严谨的数学思维
数学是一门具有高度抽象性和严密逻辑性的科学,因此在数学的学习中具有严谨的思维极其重要.在解题的过程中,学生常常由于考虑不周全、忽视条件、混淆相似知识等造成解题错误,这就是思维不严谨的典型表现.培养学生严谨的数学思维是新课标的要求之一.因此,在解题教学中,教师在解完题目后要引领学生把题目的解法从头到尾再梳理一遍,让学生查看错漏之处,并反思和总结错误的原因,避免下次再犯同样的错误,通过反思培养学生严谨的思维.
3.积极反思,学会分析考点和考法
教师在解题教学中,解完题目后引领学生总结题目涉及知识的考点和考法,培养学生学会对题目进行考点和考法分析,学会站在出题者的角度去思考如何出题、如何设置题目陷阱等,反思自己的解题过程与出题者的意向有何差别,这样才能使自己的解题能力得到进一步提高.
数学教学中,许多教学任务都是经过解题教学来完成的.因此,解题教学必须下足工夫,做到精致,才能收获硕果.
（责编 王学军）