本站原创【摘 要 】 本论文通过构造函数,运用导函数的思想和拉格郎日中值定理等方法来解决高中数学的不等式问题.在解题过程中转换思维角度把不等式问题转化函数问题,渗透构造思想方法,转变学生思维方式,体会数学美.
【关 键 词 】 不等式 构造函数 数学美感 思维
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)03(b)-0160-01
1.构造函数巧解不等式
I:导函数解不等式体现简单美
问题1:函数,证明:(2010辽宁文科改)
分析:因为想到去绝对值,而函数 在(0,+)单调递减,所以检测设x1≥x2,则 .只须要f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1成立,转化法,化烦琐的不等式证明为简单的函数的单调性,体现数学的简单美.从观察发现,式子呈现出统一和谐的对称美结构,只需将它们看作同一函数不同点的函数值.于是构造函数,只需证明函数的单调性即可.
解:在单调递减,检测设得
所以等价于
令g(x)等于f(x)+4x,则
从而g(x)在(0,+)单调递减, 故对任意x1,x2∈(0,+)
点评:常规的思考①导数应用-利用一阶导数研究单调性②单调性-给解决题目确定方向,③构造函数-如何选择函数和建构函数是决定成败.思考越深刻,构造就越成功,方法也就越简单,简单就是美.通过构造函数,把不等式证明转化为从函数思想理解,实质上是研究函数值的大小关系问题,这转变学生思维方式,不仅拓宽学生思维,而且培养学生创新思维.
II:拉格郎日中值定理解不等式体现数学概念美
问题１:函数,证明: (2010辽宁文科改)
分析:从结构对称性特点,从而类比、联想到拉格郎日中值定理.若函数在内是连续,在内可导,则在开区间内至少存在一点,使得 ,称此为格郎日中值定理.有定理得 ,不等式转化为求导函数的最值问题.
解:,
构造函数
点评:若函数在有,则有 .
在解题的过程中,我们要善于发现隐含的条件,然后通过类比、联想、猜想、转化等,来构造一个数学辅助式,使问题的以解决.
III:函数单调性的性质证明不等式体现数学证明美,对称美
问题2:已知:,且,求证:
分析:因为看到不等式对称的结构,自然建构函数,其次求导,函数在单调递减单调递增,所以.
,于不符合,所以构造函数失败.
函数单调性的性质:如果函数在区间D上有单调递增,有时,那.于是构造函数.
把式子转化为,在利用函数单调性性质.
解:因为在上单调递增
同理
点评：对于不等式的某些题目直接证明较困难时,可通过变化,使它呈现公式化结构形式和整体的和谐形式,在过程中要善于观察发现,大胆去探求解题的最佳途径.
2.结束语
不等式解题中构造函数对学生的能力培养的高度和数学基础知识的教学有机地结合,教师要根据自己学生的实际情况,合理运用,才能使学生逐步掌握构造函数的方法.